Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长AB=2，AB₁⊥BC₁，点O、O₁分别是边AC，A₁C₁的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求正三棱柱的侧棱长；
（2）若M为BC₁的中点，试用基向量

AA1

、

AB

、

AC

表示向量

AM

；
（3）求异面直线AM与BC所成角．

Answer 1

分析：（1）利用坐标表示点，进而表示向量，借助于AB₁⊥BC₁，可建立方程，从而可求正三棱柱的侧棱长；
（2）利用M为BC₁的中点，可得

AM

=

1

2

(

AC1

+

AB

)，从而可解；
（3）先求

BC

，

AM

的坐标，利用其数量积，可求异面直线AM与BC所成角．

解答：解：（1）设侧棱长为b，则A（0，-1，0），B₁（

3

，0，b），B（

3

，0，0），C₁（0，1，b）

AB1

={

3

，1，b}，

BC1

={-

3

，1，b}          …3 分
∵AB₁⊥BC₁∴-3+1+b²=0，b=

2

…（5分）
（2）∵M为BC₁的中点，
∴

AM

=

1

2

(

AC1

+

AB

) =

1

2

(

AA1

+

AB

+

AC

)…（8分）
（3）设异面直线AM与BC所成角为α，

BC

=(-

3

，1，0)，

AM

=(

3

2

，

3

2

，

2

2

)…（10分）

BC

•

AM

=-

3

2

+

3

2

+0=0，∴α=90°…（12分）

点评：本题的考点是用空间向量求直线间的夹角与距离，主要考查用坐标表示向量，考查异面直线AM与BC所成角，关键是用坐标表示向量