Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为h（h＞2），动点M在侧棱BB₁上移动．设AM与侧面BB₁C₁C所成的角为θ．
（1）当θ∈[

π

6

，

π

4

]时，求点M到平面ABC的距离的取值范围；
（2）当θ=

π

6

时，求向量

AM

与

BC

夹角的大小．

Answer 1

分析：（1）先设BC的中点为D，连接AD，DM，根据题中条件

△ABC为正三角形 D为AC中点

以及BB₁⊥平面ABC得到AD⊥平面BB₁CC₁．进而得到∠AMD即为AM与侧面BCC₁所成角θ；然后在Rt△ADM，利用角θ来求点M到平面ABC的距离的取值范围即可；
（2）先由第一问得BM=

2

；然后再把

AM

转化为

AB

+

BM

，求出

AM

•

BC

即可表示出向量

AM

与

BC

夹角的大小．

解答：解：（1）设BC的中点为D，连接AD，DM，则有

△ABC为正三角形 D为AC中点

?AD⊥BC   ①
BB₁⊥平面ABC?AD⊥BB₁   ②
由①②得AD⊥平面BB₁CC₁．
于是，可知∠AMD即为AM与侧面BCC₁所成角θ．
因为点M到平面ABC的距离为BM，设BM=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=

AD

MD

．
由AD=

3

2

，DM=

BD2+BM2

=

1+4x2

2

，
故tanθ=

3

1+4x2

．而当θ∈[

π

6

，

π

4

]时．tanθ∈[

3

3

，1]．
即

3

3

≤

3

1+4x2

≤1?3≤1+4x²≤9?

1

2

≤x²≤2．
所以，点M到平面ABC的距离BM的取值范围是：[

2

2

，

2

]．
（2）：当θ=

π

6

时，由第一问得BM=

2

．
故可得DM=

3

2

，AM=

AD2+DM2

=

3

．
设

AM

与

BC

的夹角为α．
因为

AM

•

BC

=（

AB

+

BM

）•

BC

=

AB

•

BC

+

BM

•

BC

=1×1×cos120°+0=-

1

2

．
所以cosα=

AM • BC

| AM |•| BC |

=

- 1 2

3 •1

=-

3

6

故向量

AM

与

BC

的夹角大小为：π-arccos

3

6

．

点评：本题主要考查点到面的距离以及求两个向量的夹角问题．解决第2问的关键在于把

AM

转化为

AB

+

BM

，再代入求出

AM

•

BC

的值，从而得到结论．