Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长为8，对角线B₁C=10，
（1）若D为AC的中点，求证：AB₁∥平面C₁BD；
（2）若CD=2AD，BP=λPB₁，当λ为何值时，AP∥平面C₁BD；
（3）在（1）的条件下，求直线AB₁到平面C₁BD的距离．

Answer 1

分析：（1）连接B₁C，设B₁C与BC₁交于点E，连接DE，则E为B₁C中点，利用DE是△CAB₁的中位线证出DE∥AB₁．
（2）λ=1时，AP∥平面C₁BD．连接PC，设PC与BC₁交于点F，连接DF．利用CF：FP=CD：AD=2：1．
得出DF∥AP，从而AP∥平面C₁BD．
（3）将直线AB₁到平面C₁BD的距离转化为点A到平面C₁BD的距离．利用等体积法求出距离即可．

解答：解：（1）连接B₁C，设B₁C与BC₁交于点E，连接DE，
则E为B₁C中点，又D为AC的中点，
∴DE是△CAB₁的中位线，
∴DE∥AB₁，
又DE?平面BDC₁，AB₁?平面C₁BD，
∴AB₁∥平面C₁BD．
（2）λ=1时，AP∥平面C₁BD；
证明如下：连接PC，设PC与BC₁交于点F，连接DF．
当λ=1时，P为B₁B中点，C₁C：PB=CF：FP=2：1，
又CD=2AD，∴CF：FP=CD：AD=2：1．
∴DF∥AP，
又DF?平面BDC₁，AP?平面C₁BD，
∴AP∥平面C₁BD．
（3）由（1）当D为AC的中点时，AB₁∥平面C₁BD；
∴点A到平面C₁BD的距离等于直线AB₁到平面C₁BD的距离，记为h．
正三棱柱的高C₁C=

B1C2- B1C12

=

102-82

=6．
由正三棱柱性质可知面CC₁⊥面ABC，BD?面ABC，∴CC₁⊥BD．
又在正三角形ABC中，D为AB中点，∴AC⊥BD，
∵AC∩CC₁=C，∴，BD⊥面A₁ACC₁，DC₁?面A₁ACC₁，∴BD⊥DC₁，
∴△BDC₁ 是直角三角形．
∵S_△ABD=

1

2

AD×BD=

1

2

AD×

AB2-AD2

=

1

2

×4×

82-42

=8

3

．
C₁D=

C1C2+CD2

=

62+42

=2

13

．
∴S_△BDC1=

1

2

BD×C₁D=

1

2

×4

3

×2

13

=4

39

．
∵VA-C₁BD=VC1-ABD．
∴

1

3

S_△BDC1=×h=

1

3

S_△ABD=×C₁C
代入数据，得出

1

3

×4

39

×h=

1

3

×8

3

．×6
h=

12

13

=

12 13

13

．
∴直线AB₁到平面C₁BD的距离为

12 13

13

．

点评：本题考查直线和平面平行关系的证明与判定，点面距的求解．考查分析、探索、转化、计算论证能力．求点面距的几何法常用两种：直接作出或找出距离，通过解直角三角形解决，或利用等体积转化法．