Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，PA=2AB=2，AC⊥CD，PD与平面PAC所成角的余弦值为.

（1）证明：平面PAD；

（2）点M为PB上一点，且，试判断点M的位置.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）点M的位置是靠近P的四等分点.

【解析】

（1）由PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,求解三角形证明∠CAD=60°,结合∠BCA=60°,得到BC∥AD,由直线与平面平行的判定可得BC∥平面PAD；

（2）设,则VM﹣PCD=λVB﹣PCD=λVP﹣BCD,求出三棱锥P﹣BCD的体积,结合求得λ值,可得点M的位置.

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,

又AC⊥CD,CA∩PA=A,∴CD⊥平面PAC,

∴PD与平面PAC所成角为∠DPC,

在Rt△PCD中,cos∠DPC,

在Rt△PAC中,∵PC,∴PD=2,

在Rt△PAD中,∵PA=2,∴AD=2,

在Rt△ACD中,求得∠CAD=60°.

又∠BCA=60°,∴在平面ABCD中,得到BC∥AD,

而AD平面PAD,BC平面PAD,

∴BC∥平面PAD；

（2）解：∵点M在PB上,设.

则VM﹣PCD=λVB﹣PCD=λVP﹣BCD,

∵,

∴,得.

∴点M的位置是靠近P的四等分点.