Question

已知F₁(-2,0),F₂(2,0)，点P满足|PF₁|-|PF₂|=2λ(λ为常数且0＜λ≠2).

(1)求P点的轨迹曲线E的方程；

(2)当0＜λ＜2时，过点M(-λ，0)作两直线l₁、l₂与曲线E相交于A、B两点，若MA·MB=0且AB恒过点F₂(2，0)时，求λ的值.

Answer 1

解：(1)当λ＞2时，不存在满足条件的P，λ=2时，P的轨迹方程为y=0(x≥2);

当0＜λ＜2时，P点的轨迹方程为=1(x≥λ).                         

(讨论少一种情况扣1分)

(2)由得=1,

即(4-λ²)x²-λ²k²(x²-4x+4)-λ²(4-λ²)=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

∴(4-λ²-λ²k²)x²+4λ²k²x-λ²(4k²+4-λ²)=0,

∴x₁+x₂=,

x₁x₂=,

y₁y₂=k²(x₁-2)(x₂-2)=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］,

=(x₁+λ,y₁),=(x₂+λ,y₂),

·=0(x₁+λ)(x₂+λ)+y₁y₂=0,即x₁x₂+λ(x₁+x₂)+λ²+y₁y₂=0.

∴x₁x₂+λ(x₁+x₂)+k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］+λ²=0.

∴+4k²+λ²=0,

∴=0,

16k²-4λ²k²-4λ²k⁴+4λ²-λ⁴-λ⁴k²+8λ²k⁴-4λ²k²-4λ²+λ⁴-4λ³k²-4λ²k⁴-4λ²k²+λ⁴k²=0,

化简得：k²(-4λ³-12λ²+16)=0.

∵对任意实数k等式恒成立,

∴λ³+3λ²-4=0,∴λ³-λ²+4λ²-4=0,

∴λ²(λ-1)+4(λ+1)(λ-1)=0,∴(λ-1)(λ²+4λ+4)=0,∴(λ-1)(λ+2)²=0,

∴0＜λ＜2,∴λ=1.

此时，P的轨迹方程为x²=1(x≥1)，当k不存在时，经验证也符合条件.