Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N，求证{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）在（2）条件下，求证数列{a_n}前100项中的所有偶数项的和S₁₀₀＜100．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

，分别令n=2，3，4，5代入解出函数值即可；
（2）由于b_n=a_2n-2，要证明{b_n}是等比数列，利用等比数列的定义即可得到，在利用等比数列的通项公式求出通项；
（3）在（2）条件下得：a2n=bn+2=2-(

1

2

)n     （n=1，2，…，50），由通项公式利用分组求和及等比数列的求和公式即可求得．

解答：解：（1）a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，a5=-

25

4

；
（2）∵

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 a2n+1 +2n+1-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-4n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

，
又∵b1=a2-2=-

1

2

，
∴数列{b_n}是等比数列，
且bn=(-

1

2

)(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n；
（3）由（2）得：
a2n=bn+2=2-(

1

2

)n     （n=1，2，…，50）
∴S100=a2+a4+…+a100=2×50-

1 2 (1- 1 250 )

1- 1 2

=99+

1

299

＜100．

点评：此题考查了有数列的递推关系求前5项的数值，等比数列的定义及通项公式，分组求和及等比数列的求和公式．