(12分)已知抛物线的焦点为,准线为,过上一点P作抛物线的两切线,切点分别为A、B,
(1)求证:;
(2)求证:A、F、B三点共线;
(3)求的值.
(3)
【解析】
试题分析:(1)准线为y=-1,F(0,1),设P(n,-1),,
因为,所以,
所以,即,
,即,
所以a,b是方程,
所以,
所以.
(2)由(1)知a+b=2n,,
所以直线AB的方程为即
因为a+b=2n,ab=-4,所以直线AB的方程为,
所以恒过点F(0,1).
(3)
,
因为,所以,
所以为常数.
考点:直线与抛物线的相切,直线的斜率,导数的几何意义,向量的数量积.
点评:根据导数的几何意义,分别求出切点A,B处的导数即A,B的斜率,然后证明斜率之积为-1,来证明两条切线垂直.证明A,B,F三点共线,关键是利用第(1)问的结果,求出AB的点方程,证明点F的坐标满足此方程即可.第(3)问分别求出和都用n表示,从而证明其为定值.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年浙江省高三上学期第三次统练理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知抛物线的焦点为,准线为,点为抛物线C上的一点,且的外接圆圆心到准线的距离为.
(I)求抛物线C的方程;
(II)若圆F的方程为,过点P作圆F的2条切线分别交轴于点,求面积的最小值时的值.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省台州市高三调研考试理数 题型:选择题
已知抛物线的焦点为,关于原点的对称点为过作轴的垂线交抛物线于两点.有下列四个命题:①必为直角三角形;②不一定为直角三角形;③直线必与抛物线相切;④直线不一定与抛物线相切.其中正确的命题是
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
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科目:高中数学 来源:2010-2011年黑龙江省高二上学期期末考试数学理卷 题型:选择题
已知抛物线的焦点为F,准线为,经过F且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点A,且AK,垂足为K,则的面积是( )
A 4 B C D 8
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