Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

n

3

（a_n+2），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）根据题意，配方得出a_n+1+2=2（a_n+2），可得{a_n+2}构成2为公比的等比数列，由等比数列通项公式结合题中的数据，即可算出{a_n}的通项公式；
（II）由（I）的计算结果，可得b_n=n•2^n-1，利用错位相减法结合等比数列的求和公式化简，即可得到数列{b_n}的前n项和S_n的表达式．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+2，∴a_n+1+2=2（a_n+2）
由此可得数列{a_n+2}构成以a₁+2=3为首项，公比q=2的等比数列
得a_n+2=3•2^n-1，所以a_n=3•2^n-1-2，即为数列{a_n}的通项公式；
（II）∵b_n=

n

3

（a_n+2），
∴b_n=

n

3

•（3•2^n-1），得b_n=n•2^n-1
因此，S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，--------①
两边都乘以2，得
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，--------②
①-②，得
-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1．

点评：本题求一个数列的通项公式，并依此求另一个前n项和．着重考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查了错位相减法求和的知识，属于中档题．