Question

棱长相等的正八面体和正四面体外接球表面积之比为________．

Answer 1

分析：为了便于计算正八面体和正四面体外接球的半径，先将棱长相等的正八面体和正四面体都放置在正方体内，再不妨设它们的棱长都为，正八面体所在的正方体的棱长为2，且正方体的棱长的一半即为正八面体外接球的半径；又正四面体所在的正方体的棱长为1，且正方体的对角线长的一半即为正四面体外接球的半径，分别计算出球的表面积，最后得到棱长相等的正八面体和正四面体外接球表面积之比．
解答：解：将棱长相等的正八面体和正四面体都放置在正方体内，如图．
不妨设它们的棱长都为，
正八面体所在的正方体的棱长为2，且正方体的棱长的一半即为正八面体外接球的半径，故正八面体外接球表面积为4π×1²=4π；
正四面体所在的正方体的棱长为1，且正方体的对角线长的一半即为正四面体外接球的半径，故正四面体外接球表面积为4π×（）²=3π．
故棱长相等的正八面体和正四面体外接球表面积之比为=．
故答案为：．
点评：本小题主要考查球内接多面体、球的体积和表面积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．