Question

(本小题满分14分)设椭圆与抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中:

 

1)求，的标准方程, 并分别求出它们的离心率；

2)设直线与椭圆交于不同的两点，且（其中坐标原点），请问是否存在这样的直线过抛物线的焦点若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），，，。（2）。

【解析】

试题分析：（1）∵焦点在x轴上，且椭圆与抛物线的中心与顶点在原点，又过点，

故点在椭圆上，点在抛物线上

，

∴点在上，

设

把点代入得，

由抛物线知

（2）由得

若l与x轴垂直，则l:x=1

由

设不满足

若存在直线l不与x轴垂直，可设为

设

由

    

      

所求的直线为

考点：椭圆与抛物线的标准方程及简单性质；直线与椭圆的综合应用。

点评：（1）做第一问的关键是确定哪两个点在椭圆上，哪两个点在抛物线上。（2）在求直线与圆锥曲线相交的有关问题时，通常采用设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理。