Question

设函数f(x)=loga(1-

a

x

)，其中0＜a＜1，
（1）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）利用减函数的定义即可证明；
（2）化成同底的对数式，利用对数函数的单调性可得真数的大小关系，解出即可．

解答：（1）证明：由1-

a

x

＞0，得x＞a，所以函数f（x）的定义域为（a，+∞）．
设a＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=loga(1-

a

x1

)-loga(1-

a

x2

)，
因为(1-

a

x1

)-(1-

a

x2

)=

a(x1-x2)

x1x2

＜0，所以1-

a

x1

＜1-

a

x2

，
又0＜a＜1，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）是（a，+∞）上的减函数；
（2）f（x）＞1，即loga(1-

a

x

)＞1，也即即loga(1-

a

x

)＞log_aa，
又0＜a＜1，所以0＜1-

a

x

＜a，解得a＜x＜

a

1-a

．
所以不等式的解集为：（a，

a

1-a

）．

点评：本题考查对数函数的单调性及其应用，相关性质是解决基础．