Question

在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（-2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为-

3

4

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点（

1

2

，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有

y

x-2

-

y

x+2

=-

3

4

(x≠±2)．由此可知动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为x=my+

1

2

，由方程组

x=my+ 1 2 x2 4 + y2 3 =1

消去x，并整理得4（3m²+4）y²+12my-45=0，由此入手可推导出直线MA的斜率k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），
依题意，有

y

x-2

-

y

x+2

=-

3

4

(x≠±2)．（3分）
化简并整理，得

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)．
∴动点P的轨迹C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)．（4分）
（Ⅱ）依题意，直线l过点(

1

2

，0)且斜率不为零，故可设其方程为
x=my+

1

2

，（5分）
由方程组

x=my+ 1 2 x2 4 + y2 3 =1

消去x，并整理得
4（3m²+4）y²+12my-45=0（6分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则
∴y1+y2=-

3m

3m2+4

，（7分）
∴y0=

y1+y2

2

=-

3m

2(3m2+4)

∴x0=my0+

1

2

=

2

3m2+4

，
∴k=

y0

x0-2

=

m

4m2+4

，（9分）
①当m=0时，k=0；（10分）
②当m≠0时，k=

1

4m+ 4 m

∵|4m+

1

m

|=4|m|+

4

|m|

≥8，∴0＜

1

|4m+ 4 m |

≤

1

8

．
∴0＜|k|≤

1

8

．∴-

1

8

≤k≤

1

8

且k≠0．（11分）
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：--

1

8

≤k≤

1

8

．（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法和直线方程的知识，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．