Question

3．已知f（x）为二次函数，若f（0）=1且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析 由条件便可设f（x）=ax²+bx+1，从而可得到f（x+1）=ax²+（2a+b）x+（a+b+1），从而可得到ax²+（2a+b）x+（a+b+1）=ax²+（b+1）x+2，根据多项式相等时，对应的系数相等可建立关于a，b的方程组，解出a，b，便可得出f（x）的表达式．

解答 解：根据条件设f（x）=ax²+bx+1；
∴由f（x+1）=f（x）+x+1得：a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+x+1；
∴ax²+（2a+b）x+（a+b+1）=ax²+（b+1）x+2；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b+1=2}\end{array}\right.$；
解得$a=\frac{1}{2}，b=\frac{1}{2}$；
∴f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+1$．

点评 考查二次函数的一般形式，已知f（x）求值及求f（g（x）），掌握多项式相等恒成立时，对应项系数相等．