Question

已知向量

m

=（sinx，

3

2

），

n

=（

3

Acosx，

A

3

cos2x）（A＞0），函数f（x）=

m

•

n

的最大值为6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求y=g（x）在[0，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算及倍角公式可求得f（x）=Asin（2x+

π

6

），依题意即可求得A；
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=6sin（4x+

π

3

），再利用正弦函数的单调性即可求得y=g（x）在[0，

π

4

]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

m

•

n

=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x
=A（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=Asin（2x+

π

6

），
因为A＞0，函数f（x）=

m

•

n

的最大值为6，
∴A=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=6sin（2x+

π

6

），将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位后得到y=6sin[2（x+

π

12

）+

π

6

]=6sin（2x+

π

3

）的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到y=6sin（4x+

π

3

）的图象，
∴g（x）=6sin（4x+

π

3

）．
∵x∈[0，

π

4

]，
∴4x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]．
∴g（x）在[0，

π

4

]上的值域为[-3

3

，6]．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查三角函数中的恒等变换应用、考查平面向量数量积的坐标运算，属于中档题．