Question

19．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，y）到焦点F的距离为$\frac{17}{16}$．
（1）求p的值；
（2）若圆（x-a）²+y²=1与抛物线C有公共点，结合图形求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为$\frac{17}{16}$，进而利用抛物线方程求得其准线方程，利用点到直线的距离求得p；
（2）分类讨论，借助于判别式，即可得出结论．

解答 解：∵抛物线y²=2px（p＞0）上的一点M（1，y）到焦点F的距离为$\frac{17}{16}$，
∴该点到准线的距离为$\frac{17}{16}$，
∴1+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{16}$，求得p=$\frac{1}{8}$．
（2）圆心在x的负半轴时，圆（x-a）²+y²=1与抛物线C有公共点，则a≥-1；
圆心在x的正半轴时，由（1）的方程与（x-a）²+y²=1联立，可得4x²+（1-8a）x+4a²-4=0有实数根，
则△=（1-8a）²-16（4a²-4）≥0，
解得a≤$\frac{65}{16}$，
综上所述，实数a的取值范围为[-1，$\frac{65}{16}$]．

点评 本题考查圆与抛物线的位置关系，考查学生分析转化问题的能力，考查计算能力，正确合理转化是关键．