Question

10．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB=$\sqrt{2}$CE=2，求三棱锥F-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明DE∥平面ACF；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理先证明BD⊥平面ACE，然后利用线面垂直的性质证明BD⊥AE；
（Ⅲ）取BC中G，连结FG，推导出FG⊥底面ABCD，由此能求出三棱锥F-ABC的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．
又F为BE的中点，∴OF∥DE．
又OF?面ACF，DE?面ACF，
∴DE∥平面ACF…．（4分）
（II）由EC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴EC⊥BD，
由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，
又AC∩EC=C，AC、E?平面ACE，
∴BD⊥平面ACE，
又AE?平面ACE，
∴BD⊥AE…（9分）
解：（III）取BC中G，连结FG，
在四棱锥E-ABCD中，EC⊥底面ABCD，
∵FG是△BCE的中位线，∴FG⊥底面ABCD，
∵AB=$\sqrt{2}CE=2$，∴FG=$\frac{1}{2}EC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱锥F-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×FG$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了空间直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，是中档题．