Question

18．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，其准线与x轴相交于点Q，过点F倾斜角为锐角θ的直线交抛物线于A，B两点，若∠QBF=90°，则cosθ=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，设B（x₁，y₁），∠QBF=90°，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{p}{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$=-1，又${y}_{1}^{2}$=2px₁，解得x₁．经过点B作BM⊥x轴，垂足为M，利用cosθ=$\frac{\frac{p}{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$即可得出．

解答 解：如图所示，F$（\frac{p}{2}，0）$，Q$（-\frac{p}{2}，0）$．
设B（x₁，y₁），∵∠QBF=90°，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{p}{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$=-1，
∴$（{x}_{1}-\frac{p}{2}）（{x}_{1}+\frac{p}{2}）$+${y}_{1}^{2}$=0，又${y}_{1}^{2}$=2px₁，
∴${x}_{1}^{2}-\frac{{p}^{2}}{4}$+2px₁=0，
解得x₁=$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$p．
经过点B作BM⊥x轴，垂足为M，
则cosθ=$\frac{\frac{p}{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$=$\frac{\frac{p}{2}-\frac{\sqrt{5}-2}{2}p}{\frac{p}{2}+\frac{\sqrt{5}-2}{2}p}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．