Question

已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+(y－4)2=1的圆心为点M

(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；

(2)已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程

 

Answer 1

(1)

(2)见解析；

【解析】(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y=－所以圆心M（0，4）到准线的距离是

(2) 设P(x0，x02)，A(x1，x12)，B(x2，x22)，

则由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2，

设过点P的圆C2的切线方程为y－x02=k(x－x0)，

即kx－y－kx0 +x02=0           ①

则=1( x02－1)k2+2 x0(4－x02)k+( x02－4)2－1=0，

设PA，PB的斜率为k1，k2(k1≠k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以

k1+k2= ，k1·k2=

将①代入x2=y得x2 –kx+kx0－x02=0由于x0是此方程的根，点A或B是过点P作圆C2的两条切线与抛物线C1相交的交点

故，x0+x1=k1，x0+x2=k2 x1=k1－x0，x2=k2－ x0

所以kAB= = x1+x2= k1+k2－2x0=－2x0

又KMP=

∵MP⊥AB

∴kAB·KMP=[－2x0]·（）=－1，

·=－1，解

∴即点P的坐标为（±，），KMP==

所以直线l的方程为y=±x+4