Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n-n+1（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）为数列{b_n}的前n项和，求；
（3）若总存在正自然数n，使S_n+n-2b_n＜m成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）a_n+1=2a_n-n+1，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），∴，
又a₁-1=-2，∴数列{a_n-n}是以2为公比、以-2为首项的等比数列，
∴a_n-n=（-2）•2^n-1=-2ⁿ，∴a_n=n-2ⁿ
（2）由（1）得：，∴，∴，
令，则，
两式相减得：
∴，即，∴=2．
（3）∵
令，则，
当x≥1时，，
∴f（x）在[1，+∞）单调递减，∴S_n+n-2b_n单调递增，∴，
∴，∴若总存在正自然数n，使S_n+n-2b_n＜m成立，则．
分析：（1）将题设中的条件a_n+1=2a_n-n+1变形为a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），从而可得数列{a_n-n}是等比数列，进而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）结论可求出b_n，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后再求极限．
（3）构建函数，用导数的方法可知f（x）在[1，+∞）单调递减，从而S_n+n-2b_n单调递增．要使总存在正自然数n，S_n+n-2b_n＜m成立，只需求 S_n+n-2b_n的最大值，从而得解．
点评：本题意数列递推式为载体，考查数列的通项及求和，是一道综合性较强的题，要观察分析，判断，选择合适的方法，如（1）的求解要从证明的结论中找变形方向；（2）中的求解要边变形边观察，化整为零，分块求解，这对答题者分析判断的能力要求较高；（3）则利用函数的思想，研究其单调性