Question

（本小题满分12分）正四棱柱中，，点在上，且．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定定理，来证明即，，又，所以平面；（2）求两个半平面的法向量，由（1）知是平面的一个法向量，所以只需求出平面的法向量即可，设向量是平面的法向量，再利用方程组解得，最后由两个法向量与二面角平面角的关系即可求得二面角的余弦值.

试题解析：（1）以为坐标原点，分别以、DC、DD1所在的直线为轴、y轴、z轴，建立如图所示空

间直角坐标系．则．所以，

．有 ，，

故，．又，所以平面． 6分

（2）由（1）得是平面的一个法向量，设向量是平面的法向量，

则 ，令，则，，取．

∴

所以二面角的余弦值为 12分

考点：（1）线面垂直；（2）求二面角.