Question

如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅱ）设M是线段BD上的一个动点，问当

BM

BD

的值为多少时，可使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）说明DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
求出A，F，E，B，C的坐标，设平面BEF的法向量为

m

=（x，y，z），利用

m • BF =0 m • EF =0

，求出

m

，说明

CA

为平面BDE的法向量，通过cos＜

m

，

CA

＞  =

m • CA

| m ||  CA |

，求出二面角F-BE-D的余弦值．
（Ⅱ）设M（t，t，0）．通过AM∥平面BEF，通过

AM

•

m

=0，求出点M坐标为（2，2，0），即可得到

BM

BD

的值．

解答：解：（Ⅰ） 因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．
所以DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
所以

ED

DB

=tan60°=

3

．
由AD=2可知DE=3

6

，AF=

6

．
则A（3，0，0），F（3，0.

6

），E（0，0，3

6

），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=(0，-3，

6

)，

EF

=(3，0，-2

6

)，（8分）
设平面BEF的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • BF =0 m • EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

，
令z=

6

，则

m

=（4，2，

6

）．
因为AC⊥平面BDE，所以

CA

为平面BDE的法向量，

CA

=（3，-3，0），
所以cos＜

m

，

CA

＞  =

m • CA

| m ||  CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．
因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为

13

13

．（8分）
（Ⅱ）解：点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则

AM

=(t-3，t，0)，
因为AM∥平面BEF，所以

AM

•

n

=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），

BM

BD

=

1

3

符合题意．（12分）

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，空间向量与空间直角坐标系的应用，考查计算能力．