Question

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）设点M是线段BD 上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据DE⊥平面ABCD，由线面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，满足线面垂直的判定所需条件，从而证得结论；
（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，则四边形AMNF是平行四边形，从而AM∥FN，AM?平面BEF，FN?平面BEF，满足线面平行的判定定理，从而证得结论．

解答：（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．…（2分）
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D…（4分）
从而AC⊥平面BDE．…（6分）
（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．   …（7分）
取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，
因为AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，
故四边形AMNF是平行四边形．            …（10分）
所以AM∥FN，
因为AM?平面BEF，FN?平面BEF，…（12分）
所以AM∥平面BEF．                    …（14分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．