Question

已知椭圆C：的离心率，长轴长为6，0为坐标原点．f₁，F₂分别为椭圆的左，右焦点．
（1）求椭圆c的方程；
（2）若P为椭圆C上的一点，直线PF₂交椭圆于另一点Q，试问是否存在P点使|PF₁|=|PQ|，若存在求△PF₁Q的面积；否则说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）椭圆C：的离心率，推出a与c的关系，根据长轴长为6，求出a的值，从而求出椭圆c的方程；
（2）P为椭圆C上的一点，直线PF₂交椭圆于另一点Q，假设存在P点使|PF₁|=|PQ|，利用余弦定理求出p点的横坐标，从而进行判断求解；
解答：解：（1）由题意知，2a=6，所以a=3，又e=，
得c=，
所求方程为；
（2）设|PF₂|=x，则|PF₁|=6-x，
|F₂Q|=6-2x，|F₁Q|=2x，
|F₁F₂|=2，cos∠F₁F₂P=，
cos∠F₁F₂Q=，
由cos∠F₁F₂P+cos∠F₁F₂Q=0，
化简得（x-2）（2x-3）=0，解得x=2或x=，
当x=2时，|PF₁|=4，|PQ|=4，|FQ|=4，易得S_△PF1Q=4；
当x=时，|PF₁|=|PQ|=，|F₁Q|=3，易得S_△PF1Q=；
点评：此题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆离心率的应用，第二问是一个存在性问题，我们可以假设存在P点使|PF₁|=|PQ|，求出P点的坐标进行求解，此题是一道中档题；