Question

抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如图，为抛物线上三点，且线段，， 与轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若的面积是面积的，求直线的方程．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（本题15分）:（Ⅰ）解：设， 则，，

由抛物线定义，得所以．              ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．

设，， （均大于零）  ……6分

，， 与轴交点的横坐标依次为．

（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去．

                                                                ……7分

（2）与轴不垂直时，，

设直线的方程为，即，

令得2，同理2，2，                ……10分

因为依次组成公差为1的等差数列，

所以组成公差为2的等差数列．　　　　　　　　　    ……12分

设点到直线的距离为，点到直线的距离为，

因为，所以=2，

所以　　     　……14分

得，即，所以，

所以直线的方程为：              　　       ……15分

解法二：（Ⅰ）同上．      （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．

由题意，设与轴交点的横坐标依次为

设， （均大于零）．                  ……6分

（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去．

                                                                ……7分

（2）与轴不垂直时，

设直线的方程为，即，

同理直线的方程为，

由　得　

则 所以，                         ……12分

同理，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，     因为，所以=2，

所以  ……14分

化简得，即，

所以直线的方程为：              　　       ……15分

【解析】略