Question

过抛物线y²=2px(p＞0)上一定点P(x₀,y₀)(y₀＞0)作两条直线分别交抛物线于A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂).

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

Answer 1

(1) 点M(,)到F的距离为-(-)=.

(2)证明见解析

解析:

（1）当y=时，x=.

又抛物线y²=2px(p>0)的准线方程为x=-,

则点M(,)到F的距离为-(-)=.

(2)设直线PA的斜率为k_PA,直线PB的斜率为k_PB.

由y₁²-y₀²=2p(x₁-x₀),

则k_PA=(x₁≠x₀).

同理,得k_PB=(x₂≠x₀).

由PA、PB的倾斜角互补知k_PA=-k_PB,

即=-,

即y₁+y₂=-2y₀,故=-2.

设直线AB的斜率为k_AB.

由y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),

∴k_AB=(x₁≠x₂).

将y₁+y₂=-2y₀(y₀＞0)代入上式得

k_AB=.(P(x₀,y₀)为一定点,y₀>0)

则k_AB=-为非零常数.