Question

若把函数y=lnx的图象绕原点O逆时针旋转一个α角后与y轴相切，则tanα=（　　）

• A．

  1

  e

• B．e
• C．-e
• D．-

  1

  e

Answer 1

分析：设y=lnx的图象的切线的斜率为k，切点坐标为（x₀，y₀），由题意可得 k=

lnx0

x0

=

1

x0

，求得x₀=e．由此能求出tanθ．

解答：解：利用函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转一个α角后与y轴相切，
知函数y=lnx的一条切的倾斜角为

π

2

-α，
设y=f（x）=lnx的图象的切线的斜率为k，设切点坐标为（x₀，y₀），
则由题意可得，切线的斜率为 k=

y0

x0

=

lnx0

x0

，
∵y=lnx，
∴y′=

1

x

，
再由导数的几何意义可得 k=f′（x₀）=

1

x0

，
∴

lnx0

x0

=

1

x0

，∴x₀=e．
再由α的意义可得，tanα=cot（

π

2

-α）=

1

k

=x₀=e．
故选B．

点评：本题主要考查函数的导数的意义及其应用，直线的斜率公式，函数图象的变化，属于基础题．