Question

过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则△OAB的重心的坐标是

(

8

3

，  ±

2

3

6

)

．

Answer 1

分析：先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并将直线设为x=my+1，代入抛物线y²=4x，运用抛物线定义和韦达定理计算x₁+x₂和y₁+y₂的值，再由重心坐标公式即可得△OAB的重心的坐标

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
抛物线y²=4x焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1
依据抛物线定义，|AB|=x₁+x₂+2=10，∴x₁+x₂=8
设直线方程为x=my+1代入y²=4x
得y²-4my-4=0
∴y₁y₂=-4
∵y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=（y₁+y₂）²+8=4（x₁+x₂）=32
∴y₁+y₂=±2

6

△OAB的重心的坐标为（

x1+x2

3

，

y1+y2

3

）
故答案为(

8

3

，  ±

2

3

6

)

点评：本题考察了抛物线的定义和直线与抛物线的关系，解题时要认真体会抛物线定义和韦达定理在解题中的重要应用，熟记重心坐标公式