Question

（本小题满分14分）
已知函数f(x)=m(x－1)2－2x+3+lnx（m≥1）．
(Ⅰ)当时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值；
（Ⅱ）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；
（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)（x>0）．
当时，，令，得x1=2，x2=．
f(x)，的变化情况如下表：

x	(0，)		（，2）	2	（2，+∞）
	+	0	－	0	+
f(x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，当x＝2时，函数f(x)取到极小值，且极小值为f(2)=ln2－．………………………… 4分
（Ⅱ）令＝0，得mx2－(m+2)x+1=0． （*）
因为△＝(m+2)2－4m=m2+4>0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a<b）．
因为m≥1，所以
所以a>0，b>0，即方程（*）有两个不等的正根，因此<0的解为（a，b）．
故函数f(x)存在单调递减区间．………………………… 8分
（Ⅲ）因为，所以曲线C：y=f(x)在点P(1，1)处的切线l为y=－x+2．
若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x+3+lnx=－x+2有且只有一个实根．
显然x＝1是该方程的一个根．
令g(x)=m(x－1)2－x+1+lnx，则．
当m=1时，有≥0恒成立，所以g(x)在（0，+∞）上单调递增，
所以x＝1是方程的唯一解，m=1符合题意．
当m>1时，令＝0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g(x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．
所以g(x2)>g(x1)=0，又当x→0时，g(x)→－∞，所以函数g(x)在（0，）内也有一个解，即当m>1时，不合题意．
综上，存在实数m，当m＝1时，曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处切线l与C有且只有一个公共点 14分

解析