Question

如图2-2-10,ABC—A₁B₁C₁,已知平面平行于三棱锥V-A₁B₁C₁的底面ABC,等边△AB₁C所在的平面与底面ABC垂直,且∠ABC=90°,设AC=2a,BC=a.

图2-2-10

(1)求证:直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线;

(2)求点A到平面VBC的距离;

(3)求二面角A-VB-C的大小.

Answer 1

(1)证明:∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC,

∴B₁C₁∥BC,A₁C₁∥AC.

∵BC⊥AC,

∴B₁C₁⊥A₁C₁.

又∵平面AB₁C⊥平面ABC,平面AB₁C∩平面ABC=AC,

∴BC⊥平面AB₁C.

∴BC⊥AB₁.

∴B₁C₁⊥AB₁.

又∵A₁C₁∩B₁C₁=C₁,B₁C₁∩AB₁=B₁.

∴B₁C₁为AB₁与A₁C₁的公垂线.

(2)解法一:过A作AD⊥B₁C于D,

∵△AB₁C为正三角形,∴D为B₁C的中点.

∵BC⊥平面AB₁C,∴BC⊥AD.

又B₁C∩BC=C,∴AD⊥平面VBC.

∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离.

在正△AB₁C中,AD=·AC=×2a=a,

∴点A到平面VBC的距离为a.

解法二:取AC的中点O,连结B₁O,则B₁O⊥平面ABC,且B₁O=a.

由(1)知BC⊥B₁C,设A到平面VBC的距离为x,

∴,即×BC·AC·B₁O=×BC·B₁C·x,解得x=a,

即A到平面VBC的距离为a,则d=|||·cos〈,n〉|=|||·a.

所以,A到平面VBC的距离为a.

(3)解法一:过D点作DH⊥VB于H,连结AH,由三垂线定理知AH⊥VB,

∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角.

在Rt△AHD中,AD=a.△B₁DH∽△B₁BC..

∴DH=a.

∴tan∠AHD=.

∴∠AHD=arctan.

所以,二面角A-VB-C的大小为arctan.

解法二:取AC的中点O,连结B₁O,易知OB₁⊥底面ABC,过O作直线OE∥BC交AB于E.

取O为空间直角坐标系的原点,OE,OC,OB₁所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,-a,0),B(a,a,0),C(0,a,0),B₁(0,0,a).

(1)∵=(-a,0,0),=(0,a,a),

∴·=(-a,0,0)·(0,a,a)=0,∴⊥.∴BC⊥AB₁.

又∵B₁C₁∥BC,∴B₁C₁⊥AB₁.

由已知BC⊥AC,AC∥A₁C₁.∴BC⊥A₁C₁.

而BC∥B₁C₁,∴B₁C₁⊥A₁C₁.

又B₁C₁与AB₁,A₁C₁显然相交,∴B₁C₁是AB₁与A₁C₁的公垂线.

(2)设平面VBC的一个法向量n=(x,y,z),

又=(0,-a,a),

?由

取z=1,得n=(0,,1),

点A到平面VBC的距离,即在平面VBC的法向量n上的投影的绝对值.

∵=(0,a,a),∴设所求距离为d,则d=|||·cos〈,n〉|

=|||·|==a.

∴A到平面VBC的距离为a.

(3)设平面VAB的一个法向量m=(x₁,y₁,z₁),

由由

取z₁=1,m=(,1),

∴cos〈m,n〉=.∵二面角A-VB-C为锐角,

所以二面角A-VB-C的大小为arccos.