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设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上满足下面条件的任意两点.若
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,则点M的横坐标为
1
2

(1)求证:M点的纵坐标为定植;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,求Sn(n≥2,n∈N*).
(3)已知an=
2
3
(n=1)
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
(n≥2)
,(其中n∈N*,又知Tn为数列{an}的前n项和,若Tn<(15)λ(Sn+1+1)对于一切n∈N*.都成立,试求λ的取值范围.
(1)∵
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
∴M是AB中点,设M为(x,y)
1
2
(x1+x2)=x=
1
2
,得x1+x2=1,∴x1=1-x2或x2=1-x1
y=
1
2
(y1+y2)

=
1
2
[f(x1)+f(x2)]

=
1
2
(
1
2
+log2
x
1-x1
+
1
2
+log2
x2
1-x2
)

=
1
2
(1+log2
x1
1-x1
+log2
x2
1-x2
)

=
1
2
(1+log2[
x1
1-x1
x2
1-x2
]

=
1
2
(1+log2
x1
x2
x2
x1
)=
1
2

∴M点的纵坐标的定值为
1
2


(2)由(1)知,x1+x2=1,
则f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,
Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)
Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)++f(
1
n
)

上述两式相加,得
2Sn=[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+[f(
2
n
)+f(
n-2
n
)]++[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)]

=1+1++1
Sn=
n-1
2
??(n≥2,n∈N*)


(3)当n=1时,Tn=a1=
2
3
Sn+1+1=S2+1=
3
2

由Tn<λ(Sn+1+1),得
3
2
3
2
λ
,得λ>
4
9

当n≥2时,an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
=
4
(n+1)(n+2)
=4(
1
n+1
-
1
n+2
)

Tn=a1+a2++an=
2
3
+4(
1
3
-
1
n+2
)=
2n
n+2

由Tn<λ(Sn+1+1),得
2n
n+2
<λ<
n+2
n

λ>
4n
(n+2)2
=
4n
n2+4n+4
=
4
n+
4
n
+4

4
n+
4
n
+4
4
4+4
=
1
2
,(当且仅当n=2时,=成立)∴λ>
1
2

综上所述,若对一切n∈N*.都有Tn<λ(Sn+1+1)成立,由于
4
9
1
2
,所以λ>
1
2
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点.
(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),求
1
y1
+
1
y2
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF?证明你的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上两点,且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O为坐标原点,已知点M的横坐标为
1
2

(Ⅰ)求证:点M的纵坐标为定值;
(Ⅱ)定义定义Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求S2011
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的Sn,设an=
1
2Sn+1
(n∈N*)
.若对于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,试求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的两点,已知O为坐标原点,椭圆的离心率e=
3
2
,短轴长为2,且
m
=(
x1
b
y1
a
),
n
=(
x2
b
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求△AOB的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点,且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知点M的横坐标为
1
2
,且有Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),其中n∈N*且n≥2,
(1)求点M的纵坐标值;
(2)求s2,s3,s4及Sn
(3)已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,其中n∈N*,且Tn为数列{an}的前n项和,若Tn≤λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求λ的最小正整数值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是抛物线y=x2上的三个动点,其中x3>x2≥0,△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)求证:直线BC的斜率等于x2+x3,也等于
x2-x1x3-x2

(2)求A、C两点之间距离的最小值.

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