Question

14．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁、F分别是棱AD、AA₁、AB的中点．
（1）证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）求直线FC₁与平面B₁BCC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图所示，取A₁B₁的中点M，连接MF，MC₁．利用平行四边形的判定图性质定理可得：CF∥AD，于是CF∥平面ADD₁A₁，同理可得MF∥平面ADD₁A₁．因此平面CFMC₁∥平面ADD₁A₁，即可证明EE₁∥平面FCC₁．
（Ⅱ）取BC的中点P，连接FP，C₁P．由FB=FC=2=BC，可得FP⊥BC，FP=$\sqrt{3}$．利用直棱柱与面面垂直的性质定理可得：FP⊥平面BCC₁B₁．因此∠FC₁P是直线FC₁与平面B₁BCC₁所成角．再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：如图所示，取A₁B₁的中点M，连接MF，MC₁．
∵$DC\underset{∥}{=}$AF，∴四边形AFCD是平行四边形，∴CF∥AD，
又CF?平面ADD₁A₁，AD?平面ADD₁A₁，
∴CF∥平面ADD₁A₁，
同理可得MF∥AA₁．MF∥平面ADD₁A₁．
又MF∩CF=F．
∴平面CFMC₁∥平面ADD₁A₁，又EE₁?平面ADD₁A₁，
∴直线EE₁∥平面FCC₁．
（Ⅱ）解：取BC的中点P，连接FP，C₁P．
∵FB=FC=2=BC，∴FP⊥BC，FP=$\sqrt{3}$．
∵平面BCC₁B₁⊥平面ABCD，平面BCC₁B₁∩平面ABCD=BC，
∴FP⊥平面BCC₁B₁．
∴∠FC₁P是直线FC₁与平面B₁BCC₁所成角．
在RT△FCC₁中，CF₁=2$\sqrt{2}$．
在RT△FPC₁中，sin∠FC₁P=$\frac{FP}{C{F}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、线面面面平行与垂直的判定性质定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．