Question

已知函数f（x）=（4-3a）x²-2x+a，x∈[0，1]，求f（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）当4-3a=0，即a=时，f（x）=-2x+a为[0，1]上的减函数，所以f（x）的最大值f（0）=a
（2）当4-3a＞0，即a时，函数图象是开口向上的抛物线，因此函数在x∈[0，1]时的最大值为f（0）或f（1），
∵f（0）=a，f（1）=4-3a-2+a=2-2a，
∴f（0）-f（1）=3a-2
①当a=时，f（0）=f（1）=，函数的最大值是
②当a＜时，f（0）＜f（1），函数的最大值为f（1）=2-2a
③当＜a＜时，f（0）＞f（1），函数的最大值为f（0）=a
（3）当4-3a＜0，即a＞时，函数图象是开口向下的抛物线，关于直线x=对称
∵＜0
∴f（x）在区间[0，1]上是减函数，函数的最大值为f（0）=a
综上所述，得f（x）的最大值为g（a）=
分析：分三种情况讨论：（1）当a=时，函数为一次函数，根据单调性可得函数的最大值；（2）当a时，根据函数图象可得最大值为f（0）或f（1），比较f（0）与f（1）的大小，即可得到函数最大值的情况；（3）当a＞时，函数图象是开口向下的抛物线，关于直线x=对称，根据函数的单调性可得的最大值．最后综合可得f（x）的最大值的表达式．
点评：本题给出含有字母参数的二次函数，求函数的最大值，着重考查了二次函数在闭区间上的最值的求法，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．