Question

己知命题p：x∈A={x|a-1＜x＜a+1，x∈R}，命题q：x∈B={x|x²-4x+3≥0，x∈R}
（l）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；
（2）若?q是p的必要条件，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）求出集合B中一元二次不等式的解集，确定出集合B，由两集合交集为空集，并集为R，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）由?q是p的必要条件，得到A为B补集的子集，由全集R求出B的补集，列出关于a的不等式组，求出不等式的解集即可得到a的值．

解答：解：（1）∵B={x|x≤1或x≥3}，A={x|a-1＜x＜a+1，x∈R}，
且A∩B=∅，A∪B=R，
依题意得a-1=1，且a+1=3，
则a=2；
（2）∵?q是p的必要条件，
∴A⊆C_RB，
又C_RB={x|1＜x＜3}，
即

a-1≥1 a+1≤3

，
解得：2≤a≤2，
则a=2．

点评：此题考查了交集及其运算，集合间的包含关系，充分条件、必要条件以及充要条件的判断，以及一元二次不等式的解法，是一道综合性较强的试题．