Question

13．在△ABC中，sinB+$\sqrt{2}$sin$\frac{B}{2}$=1-cosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+cosC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简可得B的大小．
（2）利用三角形内角和定理消去一个角，转化为三角函数有界性的问题求解范围即可．

解答 解：（1）由sinB+$\sqrt{2}$sin$\frac{B}{2}$=1-cosB．
可得：2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$+$\sqrt{2}$sin$\frac{B}{2}$=1-（1-2$si{n}^{2}\frac{B}{2}$）
?2cos$\frac{B}{2}$+$\sqrt{2}$=2sin$\frac{B}{2}$
?$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{B}{2}-\frac{π}{4}$）
?sin（$\frac{B}{2}-\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴0＜$\frac{B}{2}$＜π，
∴$-\frac{π}{4}$＜$\frac{B}{2}$$-\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$，
∴sin（$\frac{B}{2}-\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{6}$
∴B=$\frac{5π}{6}$；
（2）由（1）可得B=$\frac{5π}{6}$，
∴A+C=$\frac{π}{6}$，
那么：sinA+cosC=sinA+cos（$\frac{π}{6}$-A）=$\frac{3}{2}$sinA$+\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，
sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴sinA+cosC的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二倍角公式化简能力和三角形内角和定理的灵活运用，利用三角函数的有界性求解取值范围问题．属于中档题．