Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且椭圆经过点N（0，-$\sqrt{3}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆上的点到点（0，2）距离的最大值，并求出该点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知中椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且椭圆经过点N（0，-$\sqrt{3}$），求出b²，a²可得答案．
（2）求出椭圆的参数方程，代入两点间距离公式，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点N（0，-$\sqrt{3}$）．
故b=$\sqrt{3}$，即b²=3，
又∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{1}{2}$a，则b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$a²=3，
∴a²=4，
故椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{3}^{\;}}=1$，
（2）由已知可得椭圆的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$，
则椭圆上的点到点（0，2）距离d=$\sqrt{4{cos}^{2}θ+（\sqrt{3}sinθ-2）^{2}}$=$\sqrt{-{sin}^{2}θ-4\sqrt{3}sinθ+8}$，
当sinθ=-1，cosθ=0时，d取最大值2+$\sqrt{3}$，
此时动点的坐标为（0，-$\sqrt{3}$）

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，两点间的距离公式，难度中档．