Question

若椭圆E₁：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1和椭圆E₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1满足

a2

a1

=

b2

b1

=m

(m＞0)

，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点(2，

6

)，且与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C₁：

x2

22

+

y2

( 2 )2

=1和C₂：

x2

42

+

y2

(2 2 )2

=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为

x2

32

+

y2

( 3 2 2 )2

=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）直接根据定义得到有

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

解得

a2=16 b2=8

即可得到与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆方程；
（2）先对射线与y轴重合时求出结论；再对射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，仅考查A、B在第一象限的情形，联立直线与两个椭圆方程分别求出线段的长度，再结合函数的单调性即可求出|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值；（整理过程需小心避免出错）．
（3）分析出命题的基本条件为：椭圆、a=2，b=

2

、m=2、等差，类比着写：①双曲线或抛物线； ②a，b或p； ③相似比为m；④等比，再加以证明即可．

解答：解：（1）设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，则有

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

解得

a2=16 b2=8

∴所要求的椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1
（2）①当射线与y轴重合时，|OA|+

1

|OB|

=

2

+

1

2 2

=

5 2

4

②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．
设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx x2 4 + y2 2 =1

解得

x 2 1 = 4 1+2k2 y 2 1 = 4k2 1+2k2

|OA|=

2 k2+1

1+2k2

由

y=kx x2 16 + y2 8 =1

解得

x 2 1 = 16 1+2k2 y 2 1 = 16k2 1+2k2

，
∴|OB|=

4 k2+1

1+2k2

∴|OA|+

1

|OB|

=

2 k2+1

1+2k2

+

1+2k2

4 k2+1

令t=

2 k2+1

1+2k2

则由t=

2 k2+1

1+2k2

=

4k2+4 1+2k2

=

2+ 2 1+2k2

知

2

＜t≤2
∴|OA|+

1

|OB|

=t+

1

2t

记f(t)=t+

1

2t

，则f（t）在(

2

，2]上是增函数，∴f(

2

)＜f(t)≤f(2)，
∴

5

4

2

＜|OA|+

1

|OB|

≤

9

4

由①②知，|OA|+

1

|OB|

的最大值为

9

4

，|OA|+

1

|OB|

的最小值为

5 2

4

．
（3）本题根据学生提出和解决问题的质量评分
命题结构：条件?结论
条件由四部分组成：

其中基本条件为：椭圆、a=2，b=

2

、m=2、等差，
得分条件为：①双曲线或抛物线； ②a，b或p； ③相似比为m；④等比．
例1：①双曲线+②a，b+③相似比为m+等差
过原点的一条射线分别与两条双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1和C₂：

x2

(ma)2

-

y2

(mb)2

=1（m＞0）交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为

x2

( 1+m 2 a)2

-

y2

( 1+m 2 b)2

=1
证明：∵射线l与双曲线有交点，不妨设其斜率为k，显然|k|＜

b

a

．
设射线l的方程为y=kx，设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

解得  x1=

ab

b2-a2k2

，
由

y=kx x2 (ma)2 - y2 (mb)2 =1

解得  x2=

mab

b2-a2k2

由P点在射线l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得

x= x1+x2 2 y=kx

即

x= ab(1+m) 2 b2-a2k2 k= y x

得

x2

( 1+m 2 a)2

-

y2

( 1+m 2 b)2

=1
例2：①抛物线+②p+③相似比为m+等差
过原点的一条射线分别与两条抛物线C₁：y²=2px（p＞0）和C₂：y²=2mpx（m＞0）相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为y²=（1+m）px
证明：∵射线l与抛物线有异于原点的交点，不妨设其斜率为k．
设射线l的方程为y=kx，设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由

y=kx y2=2px

解得  x1=

2p

k2

，
由

y=kx y2=2mpx

解得  x2=

2mp

k2

由P点在射线l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得

x= x1+x2 2 y=kx

即

x= 2p(1+m) k2 k= y x

得 y²=（1+m）px

点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．