Question

如图，已知椭圆E₁方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，圆E₂方程为x²+y²=a²，过椭圆的左顶点A作斜率为k₁直线l₁与椭圆E₁和圆E₂分别相交于B、C． 
（Ⅰ）若k₁=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E₁的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E₁的离心率e=

1

2

，F₂为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF₂|=2a时，求k₁的值；
（Ⅲ）设D为圆E₂上不同于A的一点，直线AD的斜率为k₂，当

k1

k2

=

b2

a2

时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）当k₁=1时，点C在y轴上，且C（0，a），利用中点坐标公式即可得出点B的坐标，再代入椭圆的方程即可得到a，b的关系，再利用斜率计算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

即可得出；
（II）设椭圆的作焦点为F₁，由椭圆的定义可知：|BF₁|+|BF₂|=2a，即已知|BA|+|BF₂|=2a，即可得出|BF₁|=|BA|，则点B在线段AF₁的垂直平分线上，可得点B的横坐标，再利用斜率计算公式得到b，a的关系，把点B的横坐标代入椭圆的方程即可得到纵坐标，再利用斜率计算公式即可得出k₁．
（III）直线BD过定点（a，0）．设P（a，0），B（x_B，y_B），则点B的坐标满足椭圆方程．利用斜率计算公式可得k_AD•k_PB=

a2

b2

k1kPB=

a2

b2

•

yB

xB+a

•

yB

xB-a

，只要证明k_AD•k_PB=-1，而PD⊥AD，即可得到三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．

解答：解：（I）当k₁=1时，点C在y轴上，且C（0，a），则B(-

a

2

，

a

2

)，
由点B在椭圆上，得

(- a 2 )2

a2

+

( a 2 )2

b2

=1，化为

b2

a2

=

1

3

，
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

6

3

．
（II）设椭圆的作焦点为F₁，由椭圆的定义可知：|BF₁|+|BF₂|=2a，又|BA|+|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=|BA|，则点B在线段AF₁的垂直平分线上，
∴xB=-

a+c

2

，
又e=

c

a

=

1

2

，∴c=

1

2

a，b=

3

2

a，
∴xB=-

3

4

a，代入椭圆方程得yB=±

7

4

b=±

21

8

a，
∴k1=

yB

xB+a

=±

21

2

．
（III）直线BD过定点（a，0），证明如下：
设P（a，0），B（x_B，y_B），则

x 2 B

a2

+

y 2 B

b2

=1（a＞b＞0）．
则k_AD•k_PB=

a2

b2

k1kPB=

a2

b2

•

yB

xB+a

•

yB

xB-a

=

a2

b2

•

y 2 B

x 2 B -a2

=

a2

b2

×(-

b2

a2

)=-1．
∴PB⊥AD，又PD⊥AD，
∴三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．

点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、中点坐标公式、线段的垂直平分线、圆的性质、相互垂直的直线的斜率关系、三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力、计算能力．