Question

1．已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a＞0），其最小值为3．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m²-2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；
（2）根据不等式的性质，问题转化为m²-2m＜3，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，
故|a-1|=3，解得：a=-2或4，
由a＞0，得a=4；
（2）由（1）得f（x）=|x-1|+|x-4|，
x≥4时，f（x）=x-1+x-4=2x-5≥3，
1＜x＜4时，f（x）=x-1-x+4=3，
x≤1时，f（x）=1-x-x+4=-2x+5≥3，
∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，
故m²-2m＜3即（m+1）（m-3）＜0，解得：-1＜m＜3，
故m的范围是（-1，3）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．