Question

已知非零向量

a

与

b

满足

a

+3

b

与7

a

-5

b

互相垂直，

a

-4

b

与7

a

-2

b

互相垂直．求非零向量

a

与

b

的夹角．

Answer 1

分析：由已知条件得

( a +3 b )•(7 a -5 b )=0 ( a -4 b )•(7 a -2 b )=0

，化简可得

b

2=

a

2，即|

b

|=|

a

|，再由 cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

1 2 b 2

| b |2

=

1

2

，求得非零向量

a

与

b

夹角θ的值．

解答：解：设非零向量

a

与

b

夹角为θ，则cosθ=

a • b

| a |•| b |

，（3分）
由已知条件得

( a +3 b )•(7 a -5 b )=0 ( a -4 b )•(7 a -2 b )=0

，（5分）
即

7 a 2+16 a • b -15 b 2=0(1) 7 a 2-30 a • b +  8  b 2=0(2)

，（7分）
（2）-（1）得23

b

2-46

a

•

b

=0，即

b

2=2

a

•

b

，（9分）
代入（1）可得 

b

2=

a

2，即|

b

|=|

a

|，
所以cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

1 2 b 2

| b |2

=

1

2

，而θ∈[0，π]，则有θ=

π

3

．（12分）

点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量夹角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．