Question

如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求函数V（x）的解析式及最大值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC．
又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
（2）∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
在Rt△ABE中，AB=2，．
在Rt△ABC中，∵（0＜x＜2）．
∴，
=（0＜x＜2）．
∵，当且仅当x²=4-x²，即时，体积有最大值为．
分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，线面垂直的性质即可证明BC⊥平面ACD，再利用平行四边形的性质BC∥ED，得到ED⊥平面ACD，从而可得平面ACD⊥平面ADE；
（2）利用三棱锥的体积计算公式即可得出表达式，再利用基本不等式的性质即可得出体积的最大值．
点评：熟练掌握直径所对的圆周角为直角的性质、线面、面面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．