Question

（1）已知a＞0，b＞0，比较a³+b³与a²b+ab²的大小；
（2）已知a，b，c是三个不全等的正数，求证：

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

＞6．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系；
（2）利用分析法证明即可．

解答： （1）解：（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a³-a²b）+（b³-ab²）=（a+b）（a-b）²
又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，而（a-b）²≥0．
∴（a+b）（a-b）²≥0．
故（a³+b³）-（a²b+ab²）≥0，即a³+b³≥a²b+ab²；
（2）证明：要证明：

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

＞6，
只需证明：（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）＞9，
只需证明：3+

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

＞9，
只需证明：

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

＞6，
∵

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，a，b，c是三个不全等的正数，
∴

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

＞6，
∴

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

＞6．

点评：用作差的方法比较两个式子的大小，注意将差化为因式积的形式，以便于判断符号．