Question

已知定义在R上的函数f（x）=a-

b

4x+1

的图象过点（

1

2

，

1

3

）和（1，

3

5

）．
（1）求常数a，b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）解不等式f（2x-3）+f（1-x）＜0．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据点和函数之间的关系，建立方程即可求常数a，b的值；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（2x-3）+f（1-x）＜0进行转化即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=a-

b

4x+1

的图象过点（

1

2

，

1

3

）和（1，

3

5

）．
∴

a- b 3 = 1 3 a- b 5 = 3 5

，解得：a=1，b=2．
（2）由f（x）=a-

b

4x+1

=1-

2

4x+1

得：f（-x）=1-

2•4x

4x+1

，
则f（x）+f（-x）=1-

2

4x+1

+1-

2•4x

4x+1

=2-

2(4x+1)

4x+1

=2-2=0，
∴f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数．
（3）∵f（x）=1-

2

4x+1

∵4^x+1在R上递增，则

2

4x+1

在R上递减
∴f（x）=1-

2

4x+1

在R上递增．
不等式f（2x-3）+f（1-x）＜0可化为：f（2x-3）＜-f（1-x），
又∵f（x）为奇函数．
∴原不等式即f（2x-3）＜f（x-1），
根据单调性可知2x-3＜x-1，即x＜2，
∴不等式f（2x-3）+f（1-x）＜0的解为{x|x＜2}．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，函数奇偶性的判断依据不等式的解法，根据函数奇偶性和单调性是解决本题的关键．