Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2-x），（a＞0，a≠1），
（1）若f（4）＜2，求a的取值范围；
（2）若a＞1，设h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的定义域和值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（4）＜2得log_a4＜2，讨论a＞1、0＜a＜1时，a的取值范围；
（2）由对数的真数大于0求出x的取值范围，由函数对应关系得出h（x）的取值范围，即得定义域和值域．

解答： 解：（1）由f（4）＜2得，log_a4＜2；
若a＞1，则a²＞4，解得，a＞2；（3分）
若0＜a＜1，则a²＜4，解得，0＜a＜1；（6分）
综上所述：a＞2或0＜a＜1；（7分）
（2）h（x）=log_ax+log_a（2-x）=log_a（-x²+2x），（a＞1）；
则

x＞0 2-x＞0

，解得，0＜x＜2；（10分）
又∵-x²+2x∈（0，1]；
∴h（x）∈（-∞，0]；（13分）
∴h（x）的定义域为（0，2），值域为（-∞，0]．（14分）

点评：本题考查了函数的定义域与值域的问题，解题时应根据函数的解析式求出函数的定义域和值域，是基础题．