Question

泉州某鱼苗养殖户，由于受养殖技术水平和环境等因素的制约，会出现一些鱼苗的死亡，根据以往经验，鱼苗的死亡数p（万条）与月养殖数x（万条）之间满足关系：P=

x2 6 ，(1≤x≤4) x+ 3 x - 25 12 ，(x≥4)

，已知每成活1万条鱼苗可以盈利2万元，但每死亡1万条鱼苗讲亏损1万元．
（Ⅰ）试将该养殖户每月养殖鱼苗所获得的利润T（万元）表示为月养殖量x（万条的函数）；
（Ⅱ）该养殖户鱼苗的月养殖量是多少时获得的利润最大，最大利润是多少？（利润=盈利-亏损）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由已知中鱼苗的死亡数p（万条）与月养殖数x（万条）之间满足关系式，可求出成活的鱼苗数，进而根据每成活1万条鱼苗可以盈利2万元，但每死亡1万条鱼苗讲亏损1万元，得到利润T（万元）与月养殖量的函数解析式．
（2）由（1）中结论，结合二次函数的图象和性质，可以求出月养殖量x定为多少时获得的利润最大，及最大利润值．

解答： 解：（1）当1≤x＜4时，成活的鱼苗数为x-

x2

6

，…（1分）
利润T=2（x-

x2

6

）-

x2

6

=2x-

x2

2

               …（3分）
当x≥4时，成活的鱼苗数为x-（x+

3

x

-

25

12

）=-

3

x

+

25

12

，…（4分）
利润T=2（-

3

x

+

25

12

）-（x+

3

x

-

25

12

）=-x-

9

x

+

25

4

，…（6分）
综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润T=

2x- x2 2 ，1≤x＜4 -x- 9 x + 25 4 ，x≥4

…（7分）
（2）当1≤x＜4时，T=2x-

x2

2

，对称轴x=2，此时利润T的最大值T_max=T（2）=2．…（9分）
当x≥4时，T′=

(3+x)(3-x)

x2

＜0，…（10分）
所以T=-x-

9

x

+

25

4

在[4，+∞）上是减函数，…（11分）
此时利润T的最大值T_max=T（4）=0，…（12分）
综上所述，当x=2时，T取最大值2，…（13分）
即当养殖户鱼苗的月养殖量定为2（万件）时，可获得最大利润2万元．…（14分）

点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．