Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1，公比为q的等比数列，
（Ⅰ）证明：kC_n^k=nC_n-1^k-1（k，n∈N^*，k≤n）
（Ⅱ）计算：a₁C_n¹+（a₁+a₂）C_n²+（a₁+a₂+a₃）C_n³+…+（a₁+a₂+…+a_n）C_nⁿ（n∈N^*）．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用组合数公式计算即可；
（Ⅱ）分类讨论，利用组合数的性质，即可求解．

解答： （Ⅰ）证明：kC_n^k=k•

n!

k!(n-k)!

=n•

(n-1)!

(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

=nC_n-1^k-1（k，n∈N^*，k≤n）
（Ⅱ）解：设b_k=（a₁+a₂+…+a_k）C_n^k，
（i）当q=1时，b_k=kC_n^k=nC_n-1^k-1，
∴原式=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1；
（ii）当q≠1时，b_k=

1

1-q

C_n^k-

qk

1-q

C_n^k，
∴原式=

1

1-q

（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-

1

1-q

（qC_n¹+q²C_n²+…+qⁿC_nⁿ）
=

1

1-q

（2ⁿ-1）-

1

1-q

[（1+q）ⁿ-1]=

2n-(1+q)n

1-q

故原式=

n•2n-1，q=1 2n-(1+q)n 1-q ，q≠1

．

点评：本题考查组合数公式、组合数的性质，考查学生的计算能力，难度中等．