Question

8．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆C与圆D：x²+（y+1）²=4有公共点，求圆心C的横坐标a的取值范围．
（2）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆C的方程，利用圆C与圆D：x²+（y+1）²=4有公共点，可得不等式，即可求圆心C的横坐标a的取值范围．
（2）联立直线l与直线y=x-1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；

解答 解：（1）∵圆C的圆心在在直线l：y=x-1上，所以，设圆心C为（a，2a-4）
则圆C的方程为：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1（2分）
因为圆C与圆D有公共点，所以1≤$\sqrt{{a}^{2}+[（2a-4）-（-1）]^{2}}$≤3，
解得，a的取值范围为：[0，2.4]（5分）
（2）解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得圆心C为（3，2），∵圆C的半径为1，
∴圆C的方程为：（x-3）²+（y-2）²=1（8分）
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即$\frac{|3k+3-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
则所求切线为y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3（12分）

点评 此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．