Question

已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求 面积的最大值，并求此时直线的方程.

Answer 1

（1） （2）

试题分析：（1）已知椭圆的离心率为即可得到与的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; （2） 要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.
试题解析：（1）由已知得到,所以,即.
又椭圆经过点,故,
解得,
所以椭圆的方程是
（2）因为直线且都过点
①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,
所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦
由得, ,
所以,
,
所以,
令,则,
,
当,即时,等号成立,
故面积的最大值为,此时直线的方程为,
②当斜率为0时,即,此时,
当的斜率不存在时,不合题意;
综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.