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    已知A(3,0)及双曲线E:-=1,若双曲线E的右支上的点Q到点B(m,0)(m≥3)距离的最小值为|AB|.?

    (1)求m的取值范围,并指出当m变化时点B的轨迹G.

    (2)轨迹G上是否存在一点D,它在直线y=x上的射影为P,使得·=·?若存在,试指出双曲线E的右焦点F分向量所成的比；若不存在,请说明理由.

                     

    (3)当m为定值时,过轨迹G上的点B(m,0)作一条直线l与双曲线E的右支交于不同的两点,且与直线y=x,y=-x分别交于M,N两点,求△MON周长的最小值.

    解:(1)设M(x,y),则x≥3且y2=x2-16,

    那么点M到点B的距离d==.?

    设f(x)=d2,则f(x)=(x-)2+M2-16(x≥3).                                 ?

    当≤3即M≤时,f(x)是［3,+∞)上的增函数,所以当x=3时,f(x)取最小值M-3=|AB|;

    当＞3即M＞时,f()=＜m-3.                               ?

    由上述可得,当且仅当3≤M≤时,M到B的距离为|AB|.?

    所以点B的轨迹是一条线段AN,其中N(,0),即轨迹G为线段AN.          ?

    (2)设存在D,令P(3T,4T),则D(T,0),?

    于是=(3T-3,4T), =(T,0),?

    ∴·=25T2-25T.?

    又·=0,     ∴25T2-25T=0.?

    ∴T=0或T=1.                                                                                           ?

    当T=0时,D为(0,0)不满足题意;?

    当T=1时,D为(,0)在轨迹G上,?

    ∴存在D满足题意.此时D(,0),F(5,0),?

    有=(2,0),=(,0),=.?

    从而F分所成的比为λ=.                                                         ?

    (3)设M(3s,4s),N(3T,-4T),?

    因为直线l与双曲线E的右支有两个交点,所以s＞0,T＞0.?

    由M,B,N共线知=,即=.                                        ?

    而(s+T)=()(s+T)=2+≥2+2=4.?

    所以s+T≥,当且仅当s=T=时取等号.                                               ?

    △OMN的周长L=|OM|+|ON|+|MN|=5s+5T+?

    =5(s+T)+?

    ≥9(s+T)≥6M.?

    所以,当s=T=时,△OMN的周长最小为6M.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A (0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称．

        （1）求双曲线C的方程；

        （2）若Q是双曲线线C上的任一点，F1，F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；

        （3）设直线y = mx + 1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M (–2，0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

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