Question

15．函数$f（x）=Asin（ωx+φ）\;（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-2cos2x，求函数g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数图象观察可知A，函数的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得ω，由点（$\frac{π}{6}$，2）在函数图象上，解得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z结合范围|φ|≤$\frac{π}{2}$，求得φ的值，从而可得函数解析式；
（Ⅱ）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）先求g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），当x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的性质可得所求值域．

解答 解：由函数图象观察可知：A=2…（1分），
函数的周期T=2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，由周期公式可得：ω=$\frac{2π}{ω}$=2…（2分）
由点（$\frac{π}{6}$，2）在函数图象上，可得：2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，可得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$…（4分）
∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．…（7分）
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）-2cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-2cos2x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（9分）
∴当x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，可得：sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
∴函数g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的值域为：[-1，2]．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于基本知识的考查．