Question

5．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x+c）$与双曲线的一个交点P满足∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，则双曲线的离心率e为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{3}+1$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 由题意∠F₁PF₂=90°，利用直角三角形的边角关系即可得到|PF₂|=c，|PF₁|=$\sqrt{3}$c，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂=60°，∠F₁PF₂=90°，
∴|PF₂|=c，|PF₁|=$\sqrt{3}$c，
由双曲线的定义可得：|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴$\sqrt{3}c-c=2a$，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}+1$．
故选：D．

点评 熟练掌握圆的性质、直角三角形的边角关系、双曲线的定义、离心率的计算公式是解题的关键．